Методичні вказівки до програми курсу
Методичні вказівки до програми курсу.doc
Лекція 1.
Тема: Елементи векторної алгебри на площині.
План.
1. Означення вектора.
2. Операції над векторами.
3. Правила трикутника та паралелограма додавання векторів.
Зміст лекції:
Розглядається множина всіх напрямлених відрізків геометричної площини. Вводиться поняття вектора. Визначаються операції над векторами. Доводиться правило трикутника. Розглядаються приклади задач на застосування правила паралелограма.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 1.doc
Лекція 2.
Тема: Векторні простори.
План.
1. Означення векторного простору.
2. Лінійна залежність та незалежність векторів.
3. Базис та розмірність векторного простору.
4. Координати вектора в базисі.
Зміст лекції:
Вводяться поняття векторного простору, лінійної залежності та незалежності векторів. Розглядаються поняття базису та розмірності векторного простору. Визначаються базис та розмірність векторних просторів En, n = 1, 2, 3.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 2.doc
Лекція 3.
Тема: Скалярний добуток векторів та його властивості.
План.
1. Означення скалярного добутку векторів, його властивості.
2. Кут між двома векторами.
3. Геометричний смисл координат вектора в ортонормованому базисі.
4. Координати вектора в базисі.
Зміст лекції:
Обчислення кута між векторами; геометричний зміст декартових координат вектора на площині. Направляючі косинуси вектора. Теорема про висоти трикутника.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 3.doc
Лекція 4.
Тема: Афінна система координат на площині. Орієнтація геометричної площини.
План.
1. Афінна система координат на площині; декартова система координат.
2. Ділення відрізка у заданому відношенні.
3. Орієнтація площини; кут між векторами на орієнтованій площині.
Зміст лекції:
Вводяться загальні декартові координати точок на площині і, як частинний випадок, прямокутні декартові системи координат. Приводяться приклади таких систем. Виводяться формули ділення відрізка у заданому відношенні. Вводяться поняття орієнтації площини і доводиться теорема про існування двох орієнтацій площини. Виводяться формули для обчислення орієнтованого кута між двома векторами.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 4.doc
Лекція 5.
Тема: Метод координат на геометричній площині.
План.
1. Формули перетворення афінних систем координат.
2. Метод координат на площині.
3. Алгебраїчні лінії; коло.
Зміст лекції:
Для двох довільних афінних систем координат і довільної точки М виводяться формули, які виражають координати точки М у системі S через координати точки М у системі S?. Розглядаються формули перетворення прямокутних систем координат. На прикладах розкривається зміст методу координат на геометричній площині. Доводиться теорема, що поняття алгебраїчної лінії не залежить від вибору системи координат.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 5.doc
Лекція 6.
Тема: Полярна система координат.
План.
1. Полярна система координат на площині.
2. Зв‘язок полярної та декартової систем координат.
Зміст лекції:
Вводяться полярні координати точок на площині і, як частинний випадок, загальні полярні координати. Виводяться формули переходу від полярної системи до декартової та навпаки.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 6.doc
Лекція 7.
Тема: Пряма лінія на геометричній площині.
План.
1. Різні способи завдання прямої на площині.
2. Загальне рівняння прямої.
3. Геометричний зміст коефіцієнтів.
Зміст лекції:
Пряма лінія визначається фіксованою точкою і вектором. Дається: векторне і параметричне рівняння прямої; рівняння прямої за допомогою визначника; рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Доводиться теорема, що відносно довільної афінної системи координат S пряма лінія задається рівнянням Ax + By + C = 0. Розкривається геометричний зміст коефіцієнтів А та В, а також нерівностей: Ax + By + C > 0 та Ax + By + C < 0.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 7.doc
Лекція 8.
Тема: Пряма лінія на площині. Взаємне розташування прямих.
План.
1. Геометричний смисл коефіцієнтів в загальному рівнянні прямої.
2. Взаємне розташування двох прямих.
3. Відстань від точки до прямої.
4. Нормальне рівняння прямої.
Зміст лекції:
Пряма лінія визначається фіксованою точкою і вектором. Дається: векторне і параметричне рівняння прямої; рівняння прямої за допомогою визначника; рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Доводиться теорема, що відносно довільної афінної системи координат S пряма лінія задається рівнянням Ax + By + C = 0. Розкривається геометричний зміст коефіцієнтів А та В, а також нерівностей: Ax + By + C > 0 та Ax + By + C < 0. Виводиться формула віддалі від точки до прямої. Наводяться приклади розв'язування задач на пряму лінію. Виводиться умова паралельності і перпендикулярності двох прямих.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 8.doc
Лекція 9.
Тема: Пучок прямих.
План.
1. Кут між двома прямими.
2. Рівняння пучка перетинних прямих.
3. Рівняння пучка паралельних прямих.
4. Умова належності трьох прямих одному пучку.
Зміст лекції:
Знаходяться необхідні і достатні умови того, щоб два загальні рівняння визначали одну пряму лінію. Дається рівняння пучка прямих. Доводиться, що три прямі лінії належать одному пучку тоді і тільки тоді, коли визначник 3-го порядку, складений з їх координат, дорівнює нулеві.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 9.doc
Лекція 10, 11.
Тема: Криві другого порядку.
План.
1. Еліпс та його властивості.
1. Гіпербола та її властивості.
2. Парабола та її властивості.
Зміст лекції:
Вводиться поняття кривої 2-го порядку. Даються означення еліпса, гіперболи та параболи і виводяться їх рівняння у декартовій системі координат. За канонічними рівняннями вивчаються геометричні властивості кривих за схемою: 1) перетин кривої з осями координат, 2) симетрія відносно осей і початку координат, 3) перетин кривої з прямими, що проходять через початок координат. Вводиться поняття директриси і розкривається її геометричний зміст. З‘ясовується геометричний зміст ексцентриситету кривої. Розкривається спосіб побудови точок даних кривих за допомогою циркуля і лінійки.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 10,11.doc
Лекція 12.
Тема: Загальне рівняння лінії другого порядку.
План.
1. Алгебраїчні лінії; загальне рівняння лінії 2-го порядку; приклади.
2. Перетин ліній 2-го порядку з прямою.
3. Асимптотичні напрямки на геометричній площині відносно заданої лінії 2-го порядку.
Зміст лекції:
Доводиться теорема про те, що поняття алгебраїчної лінії 2-го порядку не залежить від вибору афінної системи координат; наводяться приклади ліній 2-го порядку: еліпс, гіпербола, парабола, пара прямих. Умова того, що крива g є невиродженою лінією 2-го порядку. Дається означення асимптотичного напрямку і доводиться основна теорема про існування асимптотичних напрямків для кривої другого порядку.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 12.doc
Лекція 13.
Тема: Центр лінії 2-го порядку. Дотична до лінії 2-го порядку.
План.
1. Необхідна і достатня умова того, щоб точка була центром лінії 2-го порядку.
2. Дослідження кривої 2-го порядку на предмет існування центрів.
3. Теорема про існування дотичної до невиродженої лінії 2-го порядку.
Зміст лекції:
Складається рівняння ГМТ середин хорд кривої g і паралельних заданому вектору; дається означення центру і доводиться теорема про існування центру кривої. Аналіз рівняння центрів дає три випадки для кривої g: крива має один центр (центральна крива), крива має лінію центрів, крива g не має жодного центра. Вводиться поняття дотичної і доводиться, що у кожній точці невиродженої кривої існує дотична. Далі виводиться рівняння дотичної до еліпса, гіперболи і параболи.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 13.doc
Лекція 14.
Тема: Головні та спряжені напрямки кривої 2-го порядку.
План.
1. Діаметри лінії 2-го порядку. Спряжені напрямки.
2. Теорема про незалежність поняття спряженості від вибору афінної системи координат.
3. Головні напрямки і головні діаметри лінії 2-го порядку. Теорема про існування головних діаметрів.
Зміст лекції:
Теорема про існування діаметра у лінії 2-го порядку. Доведення таких тверджень: 1) якщо лінія має центри, то кожний центр належить діаметру цієї лінії; 2) для нецентральної лінії 2-го порядку будь-яка пряма неасимптотичного напрямку, що проходить через центр, є діаметром цієї лінії; 3) діаметр нецентральної лінії має асимптотичний напрямок. Доводиться, що центральна лінія (не коло) має два і тільки два головних діаметри; нецентральна лінія має один головний центр.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 14.doc
Лекція 15.
Тема: Класифікація ліній 2-го порядку. Зведення рівняння ліній 2-го порядку до канонічного виду.
План.
1. Класифікація центральних ліній 2-го порядку.
2. Класифікація нецентральних ліній 2-го порядку.
3. Загальна схема зведення рівняння центральної лінії до канонічного виду.
4. Схема зведення рівняння нецентральної лінії 2-го порядку до канонічного виду.
Зміст лекції:
Спрощення рівняння кривої 2-го порядку за допомогою паралельного перенесення і повороту прямокутної системи координат. Класифікація центральних ліній за допомогою виділення повних квадратів. Для дослідження центральних ліній використовується паралельне перенесення початку координат у точку, що лежить на головному діаметрі. Доводиться існування рівно дев'яти типів ліній 2-го порядку. Загальна схема зведення рівняння ліній 2-го порядку полягає у знаходженні головних напрямків, які приймаються за нові осі координат. Складається характеристичне рівняння і знаходяться координати нових одиничних векторів. Формули перетворення координат приводять до канонічного рівняння центральної кривої.
Література:
1. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.
3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.
Лекція 15.doc
практичне заняття 1
Заняття 1.doc
практичне заняття 2
Заняття 2.doc
практичне заняття 3
Заняття 3.doc
практичне заняття 4
Заняття 4.doc
практичне заняття 5
Заняття 5.doc
практичне заняття 6
Заняття 6.doc
практичне заняття 7
Заняття 7.doc
контрольні роботи
Контрольні роботи.doc