Аналітична геометрія
Шиловська О.К.
Надіслав: пятінкіна тетяна (16 березня 2005р.)
Анотація
Методичні рекомендації з курсу аналітичної геометрії для студентів 1-го курсу

Аналітична геометрія

Методичні вказівки до програми курсу

Методичні вказівки до програми курсу.doc

Лекція 1.

Тема: Елементи векторної алгебри на площині.

План.

1.     Означення вектора.

2.     Операції над векторами.

3.     Правила трикутника та паралелограма додавання векторів.

Зміст лекції:

Розглядається множина всіх напрямлених відрізків геометричної площини. Вводиться поняття вектора. Визначаються операції над векторами. Доводиться правило трикутника. Розглядаються приклади задач на застосування правила паралелограма.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 1.doc

Лекція 2.

Тема: Векторні простори.

План.

1.     Означення векторного простору.

2.     Лінійна залежність та незалежність векторів.

3.     Базис та розмірність векторного простору.

4.     Координати вектора в базисі.

Зміст лекції:

Вводяться поняття векторного простору, лінійної залежності та незалежності векторів. Розглядаються поняття базису та розмірності векторного простору. Визначаються базис та розмірність векторних просторів En, n = 1, 2, 3.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

 Лекція 2.doc

Лекція 3.

Тема: Скалярний добуток векторів та його властивості.

План.

1.     Означення скалярного добутку векторів, його властивості.

2.     Кут між двома векторами.

3.     Геометричний смисл координат вектора в ортонормованому базисі.

4.     Координати вектора в базисі.

Зміст лекції:

Обчислення кута між векторами; геометричний зміст декартових координат вектора на площині. Направляючі косинуси вектора. Теорема про висоти трикутника.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 3.doc

Лекція 4.

Тема: Афінна система координат на площині. Орієнтація геометричної площини.

План.

1.     Афінна система координат на площині; декартова система координат.

2.     Ділення відрізка у заданому відношенні.

3.     Орієнтація площини; кут між векторами на орієнтованій площині.

Зміст лекції:

Вводяться загальні декартові координати точок на площині і, як частинний випадок, прямокутні декартові системи координат. Приводяться приклади таких систем. Виводяться формули ділення відрізка у заданому відношенні. Вводяться поняття орієнтації площини і доводиться теорема про існування двох орієнтацій площини. Виводяться формули для обчислення орієнтованого кута між двома векторами.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 4.doc

Лекція 5.

Тема: Метод координат на геометричній площині.

План.

1.     Формули перетворення афінних систем координат.

2.     Метод координат на площині.

3.     Алгебраїчні лінії; коло.

Зміст лекції:

Для двох довільних афінних систем координат і довільної точки М виводяться формули, які виражають координати точки М у системі S через координати точки М у системі S?. Розглядаються формули перетворення прямокутних систем координат. На прикладах розкривається зміст методу координат на геометричній площині. Доводиться теорема, що поняття алгебраїчної лінії не залежить від вибору системи координат.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 5.doc

Лекція 6.

Тема: Полярна система координат.

План.

1.     Полярна система координат на площині.

2.     Зв‘язок полярної та декартової систем координат.

Зміст лекції:

Вводяться полярні координати точок на площині і, як частинний випадок, загальні полярні координати. Виводяться формули переходу від полярної системи до декартової та навпаки.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 6.doc

Лекція 7.

Тема: Пряма лінія на геометричній площині.

План.

1.     Різні способи завдання прямої на площині.

2.     Загальне рівняння прямої.

3.     Геометричний зміст коефіцієнтів.

Зміст лекції:

Пряма лінія визначається фіксованою точкою і вектором. Дається: векторне і параметричне рівняння прямої; рівняння прямої за допомогою визначника; рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Доводиться теорема, що відносно довільної афінної системи координат S пряма лінія задається рівнянням Ax + By + C = 0. Розкривається геометричний зміст коефіцієнтів А та В, а також нерівностей: Ax + By + C  > 0 та Ax + By + C  < 0.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 7.doc

Лекція 8.

Тема: Пряма лінія на площині. Взаємне розташування прямих.

План.

1.     Геометричний смисл коефіцієнтів в загальному рівнянні прямої.

2.     Взаємне розташування двох прямих.

3.     Відстань від точки до прямої.

4.     Нормальне рівняння прямої.

Зміст лекції:

Пряма лінія визначається фіксованою точкою і вектором. Дається: векторне і параметричне рівняння прямої; рівняння прямої за допомогою визначника; рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Доводиться теорема, що відносно довільної афінної системи координат S пряма лінія задається рівнянням Ax + By + C = 0. Розкривається геометричний зміст коефіцієнтів А та В, а також нерівностей: Ax + By + C  > 0 та Ax + By + C  < 0. Виводиться формула віддалі від точки до прямої. Наводяться приклади розв'язування задач на пряму лінію. Виводиться умова паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 8.doc

Лекція 9.

Тема: Пучок прямих.

План.

1.     Кут між двома прямими.

2.     Рівняння пучка перетинних прямих.

3.     Рівняння пучка паралельних прямих.

4.     Умова належності трьох прямих одному пучку.

Зміст лекції:

Знаходяться необхідні і достатні умови того, щоб два загальні рівняння визначали одну пряму лінію. Дається рівняння пучка прямих. Доводиться, що три прямі лінії належать одному пучку тоді і тільки тоді, коли визначник 3-го порядку, складений з їх координат, дорівнює нулеві.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 9.doc

Лекція 10, 11.

Тема: Криві другого порядку.

План.

1.     Еліпс та його властивості.

1.     Гіпербола та її властивості.

2.     Парабола та її властивості.

Зміст лекції:

Вводиться поняття кривої 2-го порядку. Даються означення еліпса, гіперболи та параболи і виводяться їх рівняння у декартовій системі координат. За канонічними рівняннями вивчаються геометричні властивості кривих за схемою: 1) перетин кривої з осями координат, 2) симетрія відносно осей і початку координат, 3) перетин кривої з прямими, що проходять через початок координат. Вводиться поняття директриси і розкривається її геометричний зміст. З‘ясовується геометричний зміст ексцентриситету кривої. Розкривається спосіб побудови точок даних кривих за допомогою циркуля і лінійки.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 10,11.doc

Лекція 12.

Тема: Загальне рівняння лінії другого порядку.

План.

1.     Алгебраїчні лінії; загальне рівняння лінії 2-го порядку; приклади.

2.     Перетин ліній 2-го порядку з прямою.

3.     Асимптотичні напрямки на геометричній площині відносно заданої лінії 2-го порядку.

Зміст лекції:

Доводиться теорема про те, що поняття алгебраїчної лінії 2-го порядку не залежить від вибору афінної системи координат; наводяться приклади ліній 2-го порядку: еліпс, гіпербола, парабола, пара прямих. Умова того, що крива g є невиродженою лінією 2-го порядку. Дається означення асимптотичного напрямку і доводиться основна теорема про існування асимптотичних напрямків для кривої другого порядку.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 12.doc

Лекція 13.

Тема: Центр лінії 2-го порядку. Дотична до лінії 2-го порядку.

План.

1.     Необхідна і достатня умова того, щоб точка була центром лінії 2-го порядку.

2.     Дослідження кривої 2-го порядку на предмет існування центрів.

3.     Теорема про існування дотичної до невиродженої лінії 2-го порядку.

Зміст лекції:

Складається рівняння ГМТ середин хорд кривої g і паралельних заданому вектору; дається означення центру і доводиться теорема про існування центру кривої. Аналіз рівняння центрів дає три випадки для кривої g: крива має один центр (центральна крива), крива має лінію центрів, крива g не має жодного центра. Вводиться поняття дотичної і доводиться, що у кожній точці невиродженої кривої існує дотична. Далі виводиться рівняння дотичної до еліпса, гіперболи і параболи.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 13.doc

Лекція 14.

Тема: Головні та спряжені напрямки кривої 2-го порядку.

План.

1.     Діаметри лінії 2-го порядку. Спряжені напрямки.

2.     Теорема про незалежність поняття спряженості від вибору афінної системи координат.

3.     Головні напрямки і головні діаметри лінії 2-го порядку. Теорема про існування головних діаметрів.

Зміст лекції:

Теорема про існування діаметра у лінії 2-го порядку. Доведення таких тверджень: 1) якщо лінія має центри, то кожний центр належить діаметру цієї лінії; 2) для нецентральної лінії 2-го порядку будь-яка пряма неасимптотичного напрямку, що проходить через центр, є діаметром цієї лінії; 3) діаметр нецентральної лінії має асимптотичний напрямок. Доводиться, що центральна лінія (не коло) має два і тільки два головних діаметри; нецентральна лінія має один головний центр.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

3.     Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 14.doc

Лекція 15.

Тема: Класифікація ліній 2-го порядку. Зведення рівняння ліній 2-го порядку до канонічного виду.

План.

1.     Класифікація центральних ліній 2-го порядку.

2.     Класифікація нецентральних ліній 2-го порядку.

3.     Загальна схема зведення рівняння центральної лінії до канонічного виду.

4.     Схема зведення рівняння нецентральної лінії 2-го порядку до канонічного виду.

Зміст лекції:

Спрощення рівняння кривої 2-го порядку за допомогою паралельного перенесення і повороту прямокутної системи координат. Класифікація центральних ліній за допомогою виділення повних квадратів. Для дослідження центральних ліній використовується паралельне перенесення початку координат у точку, що лежить на головному діаметрі. Доводиться існування рівно дев'яти типів ліній 2-го порядку. Загальна схема зведення рівняння ліній 2-го порядку полягає у знаходженні головних напрямків, які приймаються за нові осі координат. Складається характеристичне рівняння і знаходяться координати нових одиничних векторів. Формули перетворення координат приводять до канонічного рівняння центральної кривої.

Література:

1.     Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986.

2.     Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986.

    3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992.

Лекція 15.doc

практичне заняття 1

Заняття 1.doc

практичне заняття 2

Заняття 2.doc

практичне заняття 3

Заняття 3.doc

практичне заняття 4

Заняття 4.doc

практичне заняття 5

Заняття 5.doc

практичне заняття 6

Заняття 6.doc

практичне заняття 7

Заняття 7.doc

контрольні роботи

Контрольні роботи.doc

Обговорення
Обговорити (0 коментарів)

Авторизація:

Реєстрація / Забули пароль?
Публікація
Назва:
Аналітична геометрія
(Методичні рекомендації)
Дата изменения:
6 січня 2010р., 2:01 PM
Оцінка:
Всього оцінок: 0

Оцінювати публікації можуть тільки зареєстровані користувачі

Просмотров: 19590

Опитування Наскільки легко користуватися системою "Херсонський Віртуальний університет"?
1 98
2 25
3 26
4 23
5 57
6 32
7 52
8 44
9 48
10 119
Всього голосів: 524
Результати...
Зареєструйтесь, щоб голосувати
Всі закладки...